144. 一束激光的多次反射(Investigating multiple reflections of a laser beam)

激光物理学中，白腔指的是一个使激光束发生延迟的镜面系统。激光进入镜面系统后，最终会不断反射并重新射出。本题考察的白腔系统是一个椭圆，其方程为\(4x^2+y^2=100\)。在椭圆顶端割去了\(-0.01\le x\le+0.01\)的区域，使得激光能够进入和离开白腔。

本题中，激光从白腔外的点\((0.0,10.1)\)发出，首次接触镜面的位置是\((1.4,-9.6)\)。每当激光击中椭圆表面时，它遵循反射定律入射角等于反射角，也就是说，入射光线和反射光线在入射点和法线的夹角相等。在上图中，红线表示的是激光前两次击中镜面的过程；蓝线表示的是激光第一次击中镜面时入射点的切线。

对于椭圆的任意点\((x,y)\)，其切线的斜率\(m\)满足：\(m = -4x/y\)，法线垂直于入射点的切线，下图的动画展现了激光束前十次反射的路径：

求在激光离开白腔之前，它在椭圆的内表面上击中了多少次？

分析：这是一道有趣的光学问题，但实际上只需要使用高中的解析几何知识就可以比较容易的解决。基本思路是这样的：由于光线在椭圆内的反射遵守反射定律，即入射角等于反射角，因此当我们知道入射光线的方程后，就可以用它推导出反射光线的方程，再求它和椭圆的交点，累计与椭圆接触的次数。如果交点的横坐标\(|x|\le0.01\)且纵坐标\(y>0\)，也即接触到了椭圆的缺口，光线就会射出了，这时候返回已经累计的接触次数即为题目所求。下面我们分两步来分析：第一步是用入射光线来求反射光线、第二步用反射光线来求与椭圆的接触点坐标。

一、求解反射光线

根据高中的解析知识，我们知道假设两条直线的斜率分别为\(k1,k2\)，则设两条直线形成的夹角中的锐角为\(\theta\)，则有：

在如下示意图中，光线从\(A\)点射入，与椭圆接触于\(B\)点并反射，再与椭圆接触于\(D\)点。过\(B\)点做椭圆的切线，再过\(B\)点做切线的垂线，即为椭圆在\(B\)点的法线，设其为\(n\)，则入射线\(i\)与法线\(n\)的夹角即为入射角\(\angle EBF\)，反射线\(r\)与法线\(n\)的夹角即为反射角\(\angle FBG\)。

假设入射光线的斜率为\(i\)，法线的斜率为\(n\)，反射线的斜率为\(r\)，则易知：

则入射角与反射角的正切值可以表示为：

因为入射解与反射解是相等的，因此相应的正切值也是相等的，则我们可以从入射线与法线的斜率推导出反射线的斜率：

已知反射线的斜率且经过\(B(x_1,y_1)\)点，则可推出反射线的方程，设其为\(y=rx+m\)，则知截距项\(m=y_1-rx_1\)。

二、求反射线与椭圆的交点

已知反射线方程\(y=rx+m\)，椭圆方程\(4x^2+y=100\)，则将反射线代入椭圆方程可求交点：

则可得二次方程：

此二次方程有两个解，对应反射线与椭圆的两个交点，其中一个点是\(B\)点本身，而我们需要求的另外一个交点\(D\)点，根据韦达定理，则上述二次方程的两个解满足：

则我们根据这个关系用\(B\)点横坐标推导出\(D\)点的横坐标。

代码如下：

# time cost = 420 µs ± 322 ns

def next_point(x0,y0,x1,y1):
    i = (y1-y0)/(x1-x0)
    n = y1/(4*x1)
    r = (-i+2*n+i*n**2)/(1+2*i*n-n**2)
    m = y1-r*x1
    x_new = (-2*r*m)/(4+r**2)-x1
    y_new = r * x_new + m
    return x_new,y_new

def main():
    n = 1
    x0,y0,x1,y1 = 0,10.1,1.4,-9.6
    while True:
        x_new,y_new = next_point(x0,y0,x1,y1)
        if abs(x_new)<=0.01 and y_new>0:
            return n
        else:
            x0,y0,x1,y1 = x1,y1,x_new,y_new
            n += 1