039. 整数直角三角形(integer right triangles)
如果\(p\)是一个整数边\(\{a,b,c\}\)的直角三角形的周长，对于\(p=120\)仅有三个符合要求的解：
$$ \{20,48,52\},\{24,45,51\},\{30,40,50\} $$求使得符合要求的解的数量最大的\(p\)值，其中\(p\le1000\)。
分析：此题的解题思路相对直接，据题意我们有\(a+b+c=p\)，则\(c=p-a-b\)，则有：
$$
a^2+b^2=c^2=(p-a-b)^2=p^2+a^2+b^2-2pa-2pb+2ab
$$
则可以得到：
$$
b=(p^2-2pa)/(2p-2a)
$$
则所有使得\(b\)为整数的\(p\)与\(a\)都可以满足题目的要求，从而可以得到一组符合要求勾股三元数。此外，不失一般性，我们假设\(a\le b<c\)，又因为\(a+b+c=p\)，则应有\(a<p/3\)，这可以缩小我们需要筛选的数\(a\)的范围。据此，我们可以编写一个计算特定周长下有多少对勾股三元数的函数。
题目要求\(p\le 1000\)时满足条件的勾股三元数对最多的\(p\)值，则我们只需要把不同的\(p\)代入上面的函数，算出对应的勾股数对的数量，最后统计勾股数对最多的对应周长即可。但考虑到题目的性质，我们可以对需要筛选的\(p\)值范围再做精减，假设：
- \(a\)与\(b\)都是偶数，则\(c\)也为偶数，则\(p\)为偶数；
- \(a\)与\(b\)一奇一偶，则\(c\)为奇数，则\(p\)为偶数；
- \(a\)与\(b\)都为奇数，则\(c\)为偶数，则\(p\)为偶数。
据此，我们可以得出结论：\(p\)必然为一个偶数，则我们只需要筛选1000以下的所有偶数周长即可，缩小了一半的筛选范围。
def number_of_solution(p):
num = 0
for a in range(1,p//3):
if (p**2-2*p*a)%(2*p-2*a) == 0:
num += 1
return num
def main(n=1000):
d = {p:number_of_solution(p) for p in range(2,n+1,2)}
ans = max(d,key=d.get)
return ans