009. 特殊的毕达哥拉斯三元数(Special Pythagorean triplet)

毕达哥拉斯三元数是指一类三个自然数的集合，其中\(a<b<c\)且\(a^2+b^2=c^2\)，例如\(3^2+4^2=5^2\)。仅存在一组毕达哥拉斯三元数使得\(a+b+c=1000\)，求\(abc\)。

分析：此题至少有两种解题思路，第一种思路如下：为了让解题思路更加一般化，设三角形的周长为\(p\)，则有\(a+b+c=p\)，故\(c=p-a-b\)，则有：

则可以得到：

则使得\(b\)为整数的\(p\)与\(a\)都可以满足题目的要求，从而可以得到一组符合要求勾股三元数。此外，不失一般性，我们假设\(a\le b<c\)，又因为\(a+b+c=p\)，则应有\(a<p/3\)，这可以缩小我们需要筛选的数\(a\)的范围。因为题目已经说明在\(p=1000\)时只存在一组勾股三元数，则我们只需要编写一个函数寻找一个合适的\(a\)值使得\(b\)为整数，一旦找到就可以计算\(c\)并返回三者的乘积。

第二种思路需要用到欧几里德公式，对于\(m>n>0\)，我们知道以下三个数可以构成勾股三元数：

则有：

则我们可以得到\(m(m+n)=500/k\)，显然\(m<m+n\)，同时\(m,n\)都是\(500/k\)的因数，则我们可以得到\(m<\sqrt{500/k}\)。同时我们有\(n=500/k\cdot m-m<m\)，则有\(m>\sqrt{250/k}\)，即我们可以是得到\(m\)的取值范围是\([\sqrt{250/k},\sqrt{500/k}]\)。现在我们假设\(k=1\)，则\(m\in[15.81,22.36]\)，这其中的整数只有16,17,18,19,20,21，显然只有20是500的因子，则有\(m=20,n=5\)，则有：

将\(a,b,c\)三者相乘即为题目所求。显然第二种思路可以直接笔算出结果，所以这里我们只列示第一种思路的代码：

def main(p=1000):
    for a in range(1,p//3):
        n,d = p**2-2*p*a,2*p-2*a
        if n % d == 0:
            b = n/d
            c = p-a-b
            return int(a*b*c)